Вычитание рациональных чисел

Что такое вычитание рациональных чисел

Рациональные числа — это числа вида p/q, где p и q целые, q ≠ 0. К ним относятся обыкновенные дроби, целые числа и смешанные числа. Вычитание рациональных чисел встречается в каждом разделе алгебры — от решения уравнений до задач с процентами.

Главная идея вычитания дробей: вычитание — это сложение с противоположным числом. Чтобы вычесть дробь c/d, достаточно прибавить дробь −c/d. Это означает, что правила вычитания полностью совпадают с правилами сложения рациональных чисел.

Умение вычитать рациональные числа необходимо для решения задач ОГЭ по математике — задания на вычисления с дробями встречаются в каждом варианте контрольной работы.

Правило вычитания рациональных чисел

Чтобы вычесть рациональное число из другого, используй следующий алгоритм:

1. Запиши вычитание как сложение с противоположной дробью: a/b − c/d = a/b + (−c/d)
2. Найди наименьшее общее кратное знаменателей: НОК(b, d)
3. Приведи обе дроби к общему знаменателю
4. Вычти числители, знаменатель оставь тем же
5. Сократи результат если возможно

Формула вычитания дробей с разными знаменателями:

a/b − c/d = (a·d − c·b) / (b·d)

Если знаменатели одинаковые, вычитание упрощается:

a/b − c/b = (a − c) / b

Как найти общий знаменатель при вычитании

Общий знаменатель — это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Найти НОК можно двумя способами:

Способ 1 — перебор кратных. Выпиши кратные каждого знаменателя и найди наименьшее общее:

• Кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20...
• Кратные 6: 6, 12, 18, 24...
• НОК(4, 6) = 12

Способ 2 — через разложение на множители. Разложи каждый знаменатель на простые множители и возьми каждый в наибольшей степени:

• 4 = 2²
• 6 = 2 · 3
• НОК = 2² · 3 = 12

Примеры решения задач на вычитание дробей

Пример 1: одинаковые знаменатели

Вычислить 7/9 − 4/9.

Знаменатели одинаковые — вычитаем только числители:

7/9 − 4/9 = (7 − 4) / 9 = 3/9 = 1/3

Не забудь сократить дробь: НОД(3, 9) = 3, поэтому 3/9 = 1/3.

Пример 2: разные знаменатели

Вычислить 5/6 − 1/4.

Шаг 1: НОК(6, 4) = 12

Шаг 2: Приводим к знаменателю 12:

• 5/6 = 10/12
• 1/4 = 3/12

Шаг 3: 5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12

Пример 3: вычитание отрицательной дроби

Вычислить −3/8 − 1/4.

Шаг 1: НОК(8, 4) = 8

Шаг 2: Приводим:

• −3/8 = −3/8 (уже с нужным знаменателем)
• 1/4 = 2/8

Шаг 3: −3/8 − 1/4 = −3/8 − 2/8 = −5/8

Пример 4: результат отрицательный

Вычислить 3/4 − 5/6.

Шаг 1: НОК(4, 6) = 12

Шаг 2: Приводим:

• 3/4 = 9/12
• 5/6 = 10/12

Шаг 3: 3/4 − 5/6 = 9/12 − 10/12 = −1/12

Результат отрицательный — это нормально, вторая дробь больше первой.

Пример 5: смешанные числа

Вычислить 2 и 1/3 − 1 и 3/4.

Шаг 1: Переводим в неправильные дроби:

• 2 и 1/3 = 7/3
• 1 и 3/4 = 7/4

Шаг 2: НОК(3, 4) = 12

Шаг 3: Приводим:

• 7/3 = 28/12
• 7/4 = 21/12

Шаг 4: 7/3 − 7/4 = 28/12 − 21/12 = 7/12

Пример 6: задача из ОГЭ

Вычислить −2/5 − (−3/10).

Минус на минус даёт плюс: −2/5 − (−3/10) = −2/5 + 3/10

Шаг 1: НОК(5, 10) = 10

Шаг 2: −2/5 = −4/10

Шаг 3: −4/10 + 3/10 = −1/10

Вычитание дробей с разными знаменателями — частые вопросы

Можно ли вычитать знаменатели? Нет. Знаменатель показывает на сколько частей разделено целое — он не меняется при вычитании. Вычитаются только числители после приведения к общему знаменателю.

Что делать если результат можно сократить? Всегда сокращай ответ. Найди НОД числителя и знаменателя результата и раздели оба на него.

Как вычесть дробь из целого числа? Запиши целое число как дробь с знаменателем 1, например 3 = 3/1, затем применяй обычный алгоритм.

Как вычесть дробь из нуля? 0 − a/b = −a/b. Просто меняй знак дроби.

Что значит "вычесть отрицательную дробь"? Вычесть отрицательную дробь — то же самое что прибавить положительную: a/b − (−c/d) = a/b + c/d.

Связь с другими темами алгебры

Вычитание рациональных чисел используется в:

• Решении уравнений — при переносе слагаемых через знак равенства
• Тождественных преобразованиях — при упрощении алгебраических выражений
• Задачах на проценты — при нахождении разности долей
• Координатной прямой — при нахождении расстояния между точками
• Квадратных уравнениях — при вычислении дискриминанта с дробными коэффициентами

Если хорошо освоишь вычитание рациональных чисел, следующие темы — умножение и деление дробей — дадутся значительно легче.

Задачи для самостоятельного решения

Реши самостоятельно и проверь себя через миссии выше:

1. 3/4 − 1/6 = ?
2. −2/3 − 1/4 = ?
3. 5/8 − 3/4 = ?
4. 7/10 − 3/5 = ?
5. −1/2 − (−3/8) = ?
6. 1 и 1/2 − 2/3 = ?