Степень с натуральным показателем
Что такое степень
Степень — это произведение нескольких одинаковых множителей.
Запись aⁿ означает, что число a перемножено само на себя n раз:
aⁿ = a · a · ... · a (n раз)
Здесь:
- a — основание степени (что перемножаем)
- n — показатель степени (сколько раз)
Пример: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
Степени целых чисел
Степени числа 2
| Запись | Произведение | Результат |
|---|---|---|
| 2¹ | 2 | 2 |
| 2² | 2 · 2 | 4 |
| 2³ | 2 · 2 · 2 | 8 |
| 2⁴ | 2 · 2 · 2 · 2 | 16 |
| 2⁵ | 2 · 2 · 2 · 2 · 2 | 32 |
Степени числа 3
| Запись | Результат |
|---|---|
| 3² | 9 |
| 3³ | 27 |
| 3⁴ | 81 |
Степени отрицательных чисел
Когда основание отрицательное, знак результата зависит от показателя:
Чётный показатель → результат положительный:
(−2)² = (−2) · (−2) = +4
(−3)⁴ = (−3) · (−3) · (−3) · (−3) = 9 · 9 = +81
Нечётный показатель → результат отрицательный:
(−2)³ = (−2) · (−2) · (−2) = 4 · (−2) = −8
(−3)³ = (−3) · (−3) · (−3) = 9 · (−3) = −27
Правило: (−a)ⁿ = aⁿ, если n чётное; (−a)ⁿ = −aⁿ, если n нечётное.
Важные частные случаи
Первая степень — любое число в степени 1 равно себе:
a¹ = a
Квадрат — степень 2 называется квадратом числа:
5² = 25 (читается: «пять в квадрате»)
Куб — степень 3 называется кубом числа:
4³ = 64 (читается: «четыре в кубе»)
Примеры вычисления
Пример 1
Вычислить 4³:
4³ = 4 · 4 · 4 = 16 · 4 = 64
Пример 2
Вычислить (−5)²:
(−5)² = (−5) · (−5) = 25
Показатель чётный → результат положительный.
Пример 3
Вычислить (−2)⁵:
(−2)⁵ = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 4 · 4 · (−2) = 16 · (−2) = −32
Показатель нечётный → результат отрицательный.
Типичные ошибки
Ошибка 1: Путать −a² и (−a)²
- −3² = −(3·3) = −9 (минус стоит перед степенью, не входит в основание)
- (−3)² = (−3)·(−3) = +9 (минус входит в основание)
Ошибка 2: Умножать основание на показатель
- ❌ 2³ = 2 · 3 = 6
- ✓ 2³ = 2 · 2 · 2 = 8